质数,也就是素数。
指的是大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数。
素数的个数是无穷的,关于这一点的证明,古希腊数学家欧几里得早在他的著作《几何原本》中便给出了经典的证明。
也因为素数的个数是无穷的,所以就有人会问,素数的分布规律是什么?
100000以下有多少个素数?
一个随机的100位数多大可能是素数?
这也就促进了数论这门纯数学科的发展,也就有了是否每个大于5的偶数都可写成两个素数之和的哥德巴赫猜想。
也就有了是否存在无穷多的孪生素数,斐波那契数列内是否存在无穷多的素数,是否有无穷多个梅森素数,是否存在无穷个形式如X²+1的素数,诸如此类的问题。
这里面,有像“在一个大于1的数和它的2倍之间,必定存在至少一个素数”,“存在任意长度的素数等差数列”这样利用素数定理解决的问题。
但更多的,还只是一个猜想。
如果要分级的话,陈舟现在研究的克拉梅尔猜想,大概在梅森素数问题之上,在杰波夫猜想和孪生素数猜想之下。
所以,现在的陈舟有点不敢确定,自己的想法,究竟是不是对的。
一个历时近百年,没有人能够接近证明的数学猜想,他居然发现好像有点不对,需要去修正。
其实说不对的话,用词是不恰当的。
因为陈舟并不是证伪了,只是找到了“改进”之后的质数间距的猜想。
就像2014年,陶哲轩他们证明的爱多士猜想一样。
陈舟改进的只是一个更为温和的猜想。
即使证明出来,也并不能说明克拉梅尔猜想就是错的。
而且其价值是小于卡拉梅尔猜想的。
因为改进后的问题,其素数间隔仍是小于克拉梅尔猜想的。
放下笔,伸手揉了揉太阳穴,陈舟的表情有点古怪。
草稿纸上,写着的是:
【N以内相邻素数最大间隔的猜想,(Pn+1≤N)max(Pn+1-Pn)≈logN(logN-loglogN)+2(N≥7)】
这里的N指的便是大于等于7的任意自然数。
“log”则是自然对数的简写。
而克拉梅尔猜想的表述是【limn→∞sup(Pn+1-Pn)/(logPn)²=1】。
两者之间的差别便是,将(logPn)²改为了logN(logN-loglogN)+2,且取N≥7。
如果从这个问题的解决中,能够得到一点启发,说不定就能顺势解决克拉梅尔猜想的问题了。
这样想着的陈舟,重新拿起了笔,就打算先解决这个改进的问题。
陈舟解决的思路和爱多士猜想的证明方法一样,是基于一个建立大素数间隔的简单方法。
一个大的素数间隔相当于两个素数之间的一长列非素数,或者称为复合数。
简单举个例子,先从数字2,3,4,……,101开始。
然后每个数加上101的阶乘,也就是101!。
这列数字就变成了101!+2,101!+3,101!+4,……,101!+101。
因为101!可以被从2到101的数字整除,因此这列数字的每个数都是复合数。
也就是101!+2可以被2整除,101!+3可以被3整除,以此类推。
这种简单方法,其实是高中代数方法的细微变形。
如果获得复合数列表是可能的,那么便可以以此进行素数间隔问题的研究。
一下午的时间,陈舟在图书馆里,全身心研究着克拉梅尔猜想的修正问题。